X целая часть. Целая и дробная части числа. VI. Домашнее задание
Цели урока: познакомить учащихся с понятием целой и дробной части числа; сформулировать и доказать некоторые свойства целой части числа; познакомить учащихся с широким спектром применения целой и дробной части числа; совершенствовать умение решать уравнения и системы уравнений, содержащих целую и дробную части числа.
Оборудование:
плакат “Кто смолоду делает и думает сам, тот и
становится потом надёжнее, крепче, умнее” (В. Шукшин).
Проектор, магнитная доска, справочник по алгебре.
План урока.
- Организационный момент.
- Проверка домашнего задания.
- Изучение нового материала.
- Решение задач по теме.
- Итоги урока.
- Домашнее задание.
Ход урока
I. Организационный момент: сообщение темы урока; постановка цели урока; сообщение этапов урока.
II. Проверка домашнего задания.
Ответить на вопросы учащихся по домашнему заданию. Решить задачи, вызвавшие затруднения при выполнении домашней работы.
III. Изучение нового материала.
Во многих задачах алгебры приходится рассматривать наибольшее целое число, не превосходящее данного числа. Такое целое число получило специальное название “целая часть числа”.
1. Определение.
Целой частью действительного числа х называется наибольшее целое число, не превосходящее х. Целая часть числа х обозначается символом [x] или Е(х) (от французского Entier “антье” ─ “целый”). Например, = 5, [π ] = 3,
Из определения следует, что [x] ≤ х, так как целая часть не превосходит х.
С другой стороны, т.к. [x] – наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству, то [x] +1>х. Таким образом, [x] есть целое число, определяющееся неравенствами [x] ≤ х< [x] +1, а значит 0 ≤ х ─ [x] < 1.
Число α = υ ─ [x] называют дробной частью числа х и обозначают {х}. Тогда имеем: 0 ≤ {х}<1 и следовательно, х = [x] + {х}.
2. Некоторые свойства антье.
1. Если Z – целое число, то = [x] + Z.
2. Для любых действительных чисел х и у: ≥ [x] + [у].
Доказательство: так как х = [x] + {х}, 0 ≤ {х}<1 и у = [у] + {у}, 0 ≤ {у}<1, то х+у= [x] + {х} + [у] + {у}= [x] + [у] + α, где α = {х} + {у} и 0 ≤ α <2.
Если 0 ≤ α <1. ς о = [x] + [у].
Если 1≤ α <2, т.е. α = 1 + α` , где 0 ≤ α` < 1, то х+у = [x] + [у] +1+ α` и
= [x] + [у]+1>[x] + [у].
Это свойство распространяется на любое конечное число слагаемых:
≥ + + + … + .
Умение находить целую часть величины очень важно в приближенных вычислениях. В самом деле, если мы умеем находить целую часть величины х, то, приняв [x] или [x]+1 за приближенное значение величины х, мы сделаем погрешность, величина которой не больше единицы, так как
≤ х – [x]< [x] + 1 – [x]=1,
0< [x] + 1– x ≤[x] + 1 – [x] =1.
Более того, значение целой части величины позволяет найти ее значение с точностью до 0,5. За такое значение можно взять [x] + 0,5.
Умение находить целую часть числа позволяет определить это число с любой степенью точности. Действительно, так как
≤ Nx ≤ +1, то
При большем N ошибка будет мала.
IV. Решение задач.
(Они получаются при извлечении корней с точностью до 0,1 с недостатком и избытком). Сложив эти неравенства, получим
1+0,7+0,5+0,5+0,4 < х < 1+0,8+0,6+0,5+0,5.
Т.е. 3,1< x <3,4 и, следовательно, [x]=3.
Заметим, что число 3,25 отличается от х не более чем на 0,15.
Задача 2. Найти наименьшее натуральное число m, для которого
Проверка показывает, что при k = 1 и при k = 2 полученное неравенство, не выполняется ни для какого натурального m, а при к = 3 имеет решение m = 1.
Значит, искомое число равно 11.
Ответ: 11.
Антье в уравнениях.
Решение уравнений с переменной под знаком “целой части” обычно сводится к решению неравенств или систем неравенств.
Задача 3. Решить уравнение:
Задача 4. Решить уравнение
По определению целой части полученное уравнение равносильно двойному неравенству
Задача 5.
Решить уравнение
Решение: если два числа имеют одинаковую целую часть, то их разность по абсолютной величине меньше 1, и поэтому из данного уравнения следует неравенство
И поэтому, во-первых, x ≥ 0 , а во-вторых, в сумме, стоящей в середине полученного двойного неравенства, все слагаемые, начиная с третьего, равны 0, так что x < 7 .
Поскольку х – целое число, то остается проверить значения от 0 до 6. Решениями уравнения оказываются числа 0,4 и 5.
в) выставление отметок.
VI. Домашнее задание.
Дополнительная задача (по желанию).
Некто измерил длину и ширину прямоугольника. Он умножил целую часть длины на целую часть ширины и получил 48; умножил целую часть длины на дробную часть ширины и получил 3,2; умножил дробную часть длины на целую часть ширины и получил 1,5. Определите площадь прямоугольника.
ЗАМЕЧАТЕЛЬНАЯ ЦЕЛАЯ ЧАСТЬ (СПОСОБ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ С ЦЕЛОЙ ЧАСТЬЮ ЧИСЛА)
Ле Тхань Дат
класс 10 ф/м, ГБОУ ПО «Губернский лицей-интернат для одаренных детей», г. Пенза
Цепкова Наталья Михайловна
научный руководитель, учитель математики высшей категории ГБОУ ПО «Губернский лицей-интернат для одаренных детей», соискатель кафедры педагогики и психологии профессионального обучения ПГПУ им. В.Г. Белинского г. Пензы
В последнее время всё чаще на олимпиадах, математических конкурсах, а также во многих вариантах ЕГЭ по математике (С6) встречаются задачи, содержащие целую часть числа x.
В различных вопросах теории чисел, математического анализа, теории рекурсивных функций и в других областях математики используются понятия целой и дробной частей действительного числа. В программу школ и классов с углубленным изучением математики включены отдельные вопросы, связанные с этими понятиями, но на их изложение в учебнике алгебры для 9-го класса отведено всего 34 строки .
Введём понятие целой части действительного числа и рассмотрим некоторые её свойства.
Определение. Целой частью действительного числа x называется наибольшее целое число, не превосходящее x.
Свойства целой части:
1. [x]=x, если x€Z.
2. [x]≤x<[x]+1.
3. =[x]+m, если m€Z.
Просматривая и анализируя встречающиеся задания, содержащие целую часть числа, мы заметили их однообразие, приводящее к стандартному способу решения – замене какого-либо выражения переменной.
Например, ++=6.
Заменим x+2,6 = y, тогда
[y]++=6,
[y]+[y]+1+[y]+2=6,
Возврат к замене: y= x+2,6, тогда
1 x+2,6<2,
1,6 x<-0,6.
Ответ: [-1,6; -0,6).
Рассмотрим другое уравнение, взятое из Межрегиональной олимпиады школьников по математике на базе ведомственных образовательных учреждений 2011-2012 года , которое тоже решается с помощью замены:
Заменим =k.
. (2)
Подставим вместо х в выражении (2) выражение (1), тогда
K 40k-39 10k<40k+1, 1) 40k-39 10k, 2) 10k<40k+1, K 1,3, k> . Из 1) и 2) => k=0; k=1. При k=0 x= ; При k=1 x=0,8. Ответ: ; 0,8. Возникает вопрос: а возможно ли встретить уравнение, в котором метод указанных замен не приводит к нахождению результата, и как его решить? Рассмотрим уравнение: +-=5. Сложность данного уравнения заключается в неоднозначности числа x. Пусть x=0,4, тогда =1; =1; =4, а при x=0,8 =1; =2; =5. Чтобы учесть неоднозначность неизвестного в уравнении с целыми частями, нам надо найти точки, при которых каждое слагаемое изменяет значение целой части на 1. Назовём их критическими точками
и рассмотрим конкретный пример. X=t+a, t - целая часть числа, a - дробная часть числа. T+t-t+4-3-3++-=5, T++-=7, А=0,7; а=0,4; а=0,5 – критические точки. 1) a€=a € N, 0≤t<1,
(2с-3) 2 =3a 2 -12c+46, 4c 2 -12c+9-3a 2 +12c-46=0, 4c 2 -37-3a 2 =0, 4c 2 -37-3[c] 2 =0, 4(a+t) 2 -37-3a 2 =0,
(a+t) 2 = , T=- -a - не подходит по условию задачи, Функция
[x
]
равна наибольшему целому числу,
превосходящемуx
(x
– любое действительное число). Например: Функция
[x
]
имеет «точки разрыва»: при целых
значениях x
она «изменяется скачком». На
рис.2 дан график этой функции, причем
левый конец каждого из горизонтальных
отрезков принадлежит графику (жирные
точки), а правый – не принадлежит. Попробуйте
доказать,
что если каноническое разложение числа
n
!
есть
,
то Аналогичные
формулы имеют место для Зная
это, легко определить, например, сколькими
нулями оканчивается число 100! Действительно,
пусть
.
Тогда и
Следовательно,
100! Делится на
,
т.е. оканчивается двадцатью четырьмя
нулями. К
числу полезных и увлекательных
развлечений относится составление
фигур из семи кусочков квадрата,
разрезанного в соответствии с рис.3,
(а), причем при составлении заданных
фигур должны быть использованы все
семь кусочков, и они должны налегать,
даже частично, друг на друга. На
рис. 4 приведены симметричные фигуры 1 .
Попробуйте сложить эти фигуры из частей
квадрата, изображенного на рис. 3, (а). Из
этих же чертежей можно складывать и
многие другие фигуры (например,
изображения различных предметов,
животных и т.п.). Менее
распространенным вариантом игры
является составление фигур из кусочков
квадрата, изображенного на рис. 3, (b). Магические
квадрат «
n
2
-квадратом»
назовем
квадрат, разделенный на n
2
клеток,
заполненных первыми n
2
натуральными
числами так, что суммы чисел, стоящих
в любом горизонтальном или вертикальном
ряду, а также на любой из диагоналей
квадрата, равны одному и тому же числу
Если
одинаковы лишь суммы чисел, стоящих в
любом горизонтальном и вертикальном
ряду, то квадрат называется полумагическим.
Магический
4 2
–квадрат назван именем Дюрера, математика
и художника XVIвека,
изображавшего квадрат на известной
картине «Меланхолия». Кстати,
два нижних средних числа этого квадрата
образуют число 1514-дату создания картины. Существует
лишь восемь девятиклеточных
магических квадратов.
Два
из них, являющиеся зеркальным изображением
друг друга, приведены на рисунке;
остальные шесть могут быть получены
из этих квадратов вращение их вокруг
центра на 90°, 180°, 270° 2.
Нетрудно полностью исследовать вопрос
о магических квадратов при n=3 Действительно,S 3
= 15 , и существует лишь восемь способов
представления числа 15 в виде суммы
различных чисел (от единицы до девяти): 15=1+5+9=1+6+8=2+4+9=2+5+8=2+6+7=3+4+8=3+5+7=4+5+6 Заметим,
что каждое из чисел 1, 3, 7, 9 входит в две,
а каждое из чисел 2, 4, 6, 8 – в три указанные
суммы и лишь число 5 входит в четыре
суммы. С другой стороны, из восьми
трехклеточных рядов: трех горизонтальных,
трех вертикальных и двух диагональных
– через каждую из угловых клеток
квадрата проходит по три, через
центральную клетку по четыре и через
каждую из остальных клеток по два ряда.
Следовательно, число 5 должно обязательно
стоять в центральной клетке, числа 2,
4, 6, 8 – в угловых клетках, а числа 1, 3, 7,
9 – в остальных клетках квадрата. П1. Целая часть числа. Определение10.
Целой частью числа называется наибольшее целое число r, не превышающее. Обозначается символом или (реже (от франц. “entire” - целый). Если x принадлежит интервалу где r целое число,то, т.е. находится в интервалеТогда, по свойствам числовых неравенств, разность будет в интервале Число показывают дробной частью числа и обозначаютСледовательно, дробная часть числа всегда неотрицательна и не превышает единицу, тогда как целая часть числа может принимать как положительные значения, так и неположительные. Таким образом, а следовательно Свойства: Например: Функция целая часть числа имеет вид 1.
Функция имеет смысл для всех значений переменной x, что следует из определения целой части числа и свойств числовых множеств(непрерывности множества действительных чисел дискретности множества целых чисел и бесконечности обоих множеств). Следовательно, ее областью определения является все множество действительных чисел. . 4. Множество значений функции это множество целых чисел (по определению целой части числа. 5. Функция неограниченна, так как множество значений функции - все целые числа, множество целых чисел неограниченно. 6. функция разрывна. Все целые значения - точки разрыва первого рода с конечным скачком равным единицы. В каждой точке разрыва имеется непрерывность справа. 7. Функция принимает значение 0 для всех, принадлежащих интервалучто следует из определения целой части числа. Следовательно, нулями функции будут все значения этого интервала. П2.Дробная часть числа Свойства: 1. Равенство Функция дробная часть числа имеет вид 4. Функция принимает значения на интервале, что следует из определения дробной части числа, т.е. 5. Из предыдущего свойства следует, что функция ограничена 6. Функция непрерывна на каждом интервале, где-целое, в каждой точке функция терпит, разрыв первого рода. Скачок равен единице. 12. График функции.
.Фигуры из кусочков квадрата
Магические квадраты
