Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

При выполнении тригонометрических преобразований следуйте следующим советам:

1. Не пытайтесь сразу придумать схему решения примера от начала до конца.
2. Не пытайтесь преобразовывать сразу весь пример. Продвигайтесь вперёд маленькими шагами.
3. Помните, что кроме тригонометрических формул в тригонометрии можно по-прежнему применять все справедливые алгебраические преобразования (вынесение за скобку, сокращение дробей, формулы сокращённого умножения и так далее).
4. Верьте, что всё будет хорошо.

Основные тригонометрические формулы

Большинство формул в тригонометрии часто применяется как справа налево, так и слева направо, поэтому учить эти формулы нужно так хорошо, чтобы Вы легко смогли применить некоторую формулу в обоих направлениях. Запишем для начала определения тригонометрических функций. Пусть имеется прямоугольный треугольник:

Тогда, определение синуса:

Определение косинуса:

Определение тангенса:

Определение котангенса:

Основное тригонометрическое тождество:

Простейшие следствия из основного тригонометрического тождества:

Формулы двойного угла. Синус двойного угла:

Косинус двойного угла:

Тангенс двойного угла:

Котангенс двойного угла:

Дополнительные тригонометрические формулы

Тригонометрические формулы сложения. Синус суммы:

Синус разности:

Косинус суммы:

Косинус разности:

Тангенс суммы:

Тангенс разности:

Котангенс суммы:

Котангенс разности:

Тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение. Сумма синусов:

Разность синусов:

Сумма косинусов:

Разность косинусов:

Сумма тангенсов:

Разность тангенсов:

Сумма котангенсов:

Разность котангенсов:

Тригонометрические формулы преобразования произведения в сумму. Произведение синусов:

Произведение синуса и косинуса:

Произведение косинусов:

Формулы понижения степени.

Формулы половинного угла.

Тригонометрические формулы приведения

Функцию косинус называют кофункцией функции синус и наоборот. Аналогично функции тангенс и котангенс являются кофункциями. Формулы приведения можно сформулировать в виде следующего правила:

• Если в формуле приведения угол вычитается (прибавляется) из 90 градусов или 270 градусов, то приводимая функция меняется на кофункцию;
• Если же в формуле приведения угол вычитается (прибавляется) из 180 градусов или 360 градусов, то название приводимой функции сохраняется;
• При этом перед приведенной функцией ставится тот знак, который имеет приводимая (т.е. исходная) функция в соответствующей четверти, если считать вычитаемый (прибавляемый) угол острым.

Формулы приведения задаются в виде таблицы:

По тригонометрической окружности легко определять табличные значения тригонометрических функций:

Тригонометрические уравнения

Для решения некоторого тригонометрического уравнения его нужно свести к одному из простейших тригонометрических уравнений, которые будут рассмотрены ниже. Для этого:

• Можно применять тригонометрические формулы приведенные выше. При этом не нужно пытаться преобразовать сразу весь пример, а нужно двигаться вперед маленькими шагами.
• Нужно не забывать о возможности преобразовать некоторое выражение и с помощью алгебраических методов, т.е. например, вынести что-нибудь за скобку или, наоборот, раскрыть скобки, сократить дробь, применить формулу сокращенного умножения , привести дроби к общему знаменателю и так далее.
• При решении тригонометрических уравнений можно применять метод группировки . При этом нужно помнить, что для того чтобы произведение нескольких множителей было равно нолю, достаточно чтобы любой из них был равен нолю, а остальные существовали .
• Применяя метод замены переменной , как обычно, уравнение после введения замены должно стать проще и не содержать первоначальной переменной. Также нужно не забыть выполнить обратную замену.
• Помните, что однородные уравнения часто встречаются и в тригонометрии.
• Раскрывая модули или решая иррациональные уравнения с тригонометрическими функциями нужно помнить и учитывать все тонкости решения соответствующих уравнений с обычными функциями.
• Помните про ОДЗ (в тригонометрических уравнениях ограничения на ОДЗ в основном сводятся к тому, что делить на ноль нельзя, но не забываем и о других ограничениях, особенно о положительности выражений в рациональных степенях и под корнями четных степеней). Также помните, что значения синуса и косинуса могут лежать только в пределах от минус единицы до плюс единицы включительно.

Главное, если не знаете, что делать, делайте хоть что-нибудь, при этом главное правильно использовать тригонометрические формулы. Если то, что Вы при этом получаете становиться все лучше и лучше, значит продолжайте решение, а если становиться хуже, значит вернитесь к началу и попробуйте применить другие формулы, так поступайте пока не наткнетесь на правильный ход решения.

Формулы решений простейших тригонометрических уравнений. Для синуса существует две равнозначные формы записи решения:

Для остальных тригонометрических функций запись однозначна. Для косинуса:

Для тангенса:

Для котангенса:

Решение тригонометрических уравнений в некоторых частных случаях:

Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того на что Вы способны.

Нашли ошибку?

Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на почту. Написать об ошибке можно также в социальной сети (). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

На этом уроке мы поговорим, как возникает необходимость во введении тригонометрических функций и почему их изучают, что нужно понимать в этой теме, а где просто необходимо набить руку (что является техникой). Заметим, что техника и понимание - это разные вещи. Согласитесь, есть разница: научиться кататься на велосипеде, то есть понимать, как это делать, или стать профессиональным велогонщиком. Мы будем говорить именно о понимании, о том, зачем нужны тригонометрические функции.

Существует четыре тригонометрические функции, но их все можно выразить через одну используя тождества (равенства, которые их связывают).

Формальные определения тригонометрических функций для острых углов в прямоугольных треугольниках (Рис. 1).

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противоположного катета к прилежащему катету.

Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к противолежащему катету.

Рис. 1. Определение тригонометрических функций острого угла прямоугольного треугольника

Эти определения являются формальными. Правильнее сказать, что существует только одна функция, например, синус. Если бы они не были так нужны (не так часто использовались) в технике, не вводили бы и столько разных тригонометрических функций.

Например, косинус угла равен синусу этого же угла с добавлением (). Кроме того, косинус угла всегда можно выразить через синус этого же угла с точностью до знака, используя основное тригонометрическое тождество (). Тангенс угла - это отношение синуса к косинусу или перевёрнутый котангенс (Рис. 2). Некоторые не используют котангенс вообще, заменяя его на . Поэтому важно понимать и уметь работать с одной тригонометрической функцией.

Рис. 2. Связь различных тригонометрических функций

Но зачем вообще понадобились такие функции? Для решения каких практических задач их используют? Давайте рассмотрим несколько примеров.

Два человека (А и В ) выталкивают машину из лужи (Рис. 3). Человек В может толкать машину вбок, при этом он вряд ли поможет А . С другой стороны, направление его усилий может постепенно сдвигаться (Рис. 4).

Рис. 3. В толкает машину вбок

Рис. 4. В начинает менять направление своих усилий

Ясно, что наиболее эффективно их усилия сложатся тогда, когда они будут толкать машину в одну сторону (Рис. 5).

Рис. 5. Наиболее эффективное совместное направление усилий

То, насколько В помогает выталкиванию машины, насколько направление его силы близко к направлению силы, с которой действует А , является функцией угла и выражается через его косинус (Рис. 6).

Рис. 6. Косинус, как характеристика эффективности усилий В

Если умножить величину силы, с которой действует В , на косинус угла, получим проекцию его силы на направление силы, с которой действует А . Чем ближе угол между направлениями сил к , тем эффективнее будет результат совместных действий А и В (Рис. 7). Если они будут толкать машину с одинаковой силой в противоположных направлениях, то машина останется на месте (Рис. 8).

Рис. 7. Эффективность совместных усилий А и В

Рис. 8. Противоположное направление действия сил А и В

Важно понимать, почему мы можем заменить угол (его вклад в конечный результат) на косинус (или другую тригонометрическую функцию угла). На самом деле это следует из такого свойства подобных треугольников. Так как фактически мы говорим следующее: угол можно заменить на отношение двух чисел (катет-гипотенуза или катет-катет). Это было бы невозможно, если бы, например, для одного и того же угла разных прямоугольных треугольников эти отношения были бы разные (Рис. 9).

Рис. 9. Равные отношения сторон в подобных треугольниках

Например, если бы отношение и отношение было бы разным, то мы бы не смогли ввести функцию тангенса, так как для одного и того же угла в разных прямоугольных треугольниках тангенс оказался бы разным. Но благодаря тому, что отношения длин катетов подобных прямоугольных треугольников одинаковы, значение функции не будет зависеть от треугольника, а значит, острый угол и значения его тригонометрических функций взаимно однозначны.

Предположим, мы знаем высоту некоего дерева (Рис. 10). Как измерить высоту здания, расположенного рядом?

Рис. 10. Иллюстрация условия примера 2

Находим точку , такую, что линия, проведённая через эту точку и вершину дома, пройдёт через вершину дерева (Рис. 11).

Рис. 11. Иллюстрация решения задачи примера 2

Мы можем измерить расстояние от этой точки до дерева, расстояние от неё до дома и знаем высоту дерева. Из пропорции можно найти высоту дома: .

Пропорция - это равенство отношения двух чисел. В данном случае равенство отношения длин катетов подобных прямоугольных треугольников. Причём эти отношения равны некоторой мере угла, которая выражается через тригонометрическую функцию (по определению, это тангенс). Получаем, что для каждого острого угла значение его тригонометрической функции однозначно. То есть синус, косинус, тангенс, котангенс - это действительно функции, так как каждому острому углу соответствует ровно одно значение каждой из них. Следовательно, их можно дальше исследовать и пользоваться их свойствами. Значения тригонометрических функций для всех углов уже вычислены, ими можно пользоваться (их можно узнать из таблиц Брадиса или с помощью любого инженерного калькулятора). А вот решить обратную задачу (например, по значению синуса восстановить меру угла, который ему соответствует) мы можем не всегда.

Пусть синус некоторого угла равен или приблизительно (Рис. 12). Какой угол будет соответствовать данному значению синуса? Конечно, мы может опять воспользоваться таблицей Брадиса и найти какое-то значение, но оказывается, что оно не будет единственным (Рис. 13).

Рис. 12. Нахождение угла по значению его синуса

Рис. 13. Многозначность обратных тригонометрических функций

Следовательно, при восстановлении по значению тригонометрической функции угла, возникает многозначность обратных тригонометрических функций. Это может показаться сложным, но на самом деле мы сталкиваемся с похожими ситуациями каждый день.

Если зашторить окна и не знать, светло или темно на улице, или же оказаться в пещере, то, проснувшись, трудно сказать, сейчас час дня, ночи или же следующего дня (Рис. 14). На самом деле, если спросить у нас «Который час?», мы должны честно ответить: «Час плюс умножить на , где »

Рис. 14. Иллюстрация многозначности на примере с часами

Можно сделать вывод, что - это период (промежуток, через который часы будут показывать то же время, что и сейчас). Периоды есть и у тригонометрических функций: синуса, косинуса и т.д. То есть их значения через некоторое изменение аргумента повторяются.

Если бы на планете не было смены дня и ночи или смены сезонов, то мы не могли бы пользоваться периодическим временем. Ведь у нас только нумерация лет идёт по возрастающей, а в сутках часа, и каждые новые сутки счёт начинается заново. С месяцами та же ситуация: если сейчас январь, то через месяцев опять наступит январь и т.д. Использовать периодический счёт времени ( часа, месяцев) нам помогают внешние ориентиры - например, вращение Земли вокруг своей оси и изменение положения Солнца и Луны на небе. Если бы Солнце всегда висело в одном и том же положении, то для подсчёта времени нам бы считать количество секунд (минут) с момента возникновения этого самого подсчёта. Дата и время могли бы тогда звучать так: миллиард секунд.

Вывод: никаких сложностей в плане многозначности обратных функций нет. Действительно могут быть варианты, когда для одного и того же синуса существуют разные значения угла (Рис. 15).

Рис. 15. Восстановление угла по значению его синуса

Обычно при решении практических задач мы всегда работаем в стандартном диапазоне от до . В этом диапазоне для каждого значения тригонометрической функции есть всего два соответствующих значения меры угла.

Рассмотрим движущуюся ленту и маятник в виде ведра с отверстием, из которого высыпается песок. Маятник качается, лента движется (Рис. 16). В результате песок оставит след в виде графика функции синус (или косинус), который называют синусоида.

На самом деле графики синуса и косинуса отличаются друг от друга только точкой отсчёта (если нарисовать один из них, а затем стереть оси координат, то определить, какой именно график был нарисован, не получится). Поэтому называть график косинусоида нет смысла (зачем придумывать отдельное название для того же самого графика)?

Рис. 16. Иллюстрация постановки задачи в примере 4

По графику функции также можно понять, почему обратные функции будут иметь много значений. Если значение синуса зафиксировать, т.е. провести прямую параллельно оси абсцисс, то на пересечении получим все точки, в которых синус угла равен данному. Понятно, что таких точек будет бесконечно много. Как в примере с часами, где было значение времени отличалось на , только здесь значение угла будет отличаться на величину (Рис. 17).

Рис. 17. Иллюстрация многозначности для синуса

Если рассмотреть пример с часами, то точка (конец часовой стрелки) двигается по окружности. Точно так же можно определить и тригонометрические функции - рассматривать не углы в прямоугольном треугольнике, а угол между радиусом окружности и положительным направлением оси . Количество кругов, который пройдёт точка (договорились считать движение по часовой стрелке со знаком минус, а против - со знаком плюс), это период (Рис. 18).

Рис. 18. Значение синуса на окружности

Итак, обратная функция однозначно определена на некотором интервале. Для этого интервала мы можем посчитать её значения, а все остальные получить из найденных значений, добавляя и вычитая период функции.

Рассмотрим ещё один пример периода. Машина движется по дороге. Представим, что её колесо въехало в краску или в лужу. Можно увидеть периодические отметины от краски или лужи на дороге (Рис. 19).

Рис. 19. Иллюстрация периода

Тригонометрических формул в школьном курсе достаточно много, но по большому счёту достаточно помнить всего одну (Рис. 20).

Рис. 20. Тригонометрические формулы

Формулу двойного угла так же легко вывести из синуса суммы, подставив (аналогично для косинуса). Также можно вывести формулы произведения.

На самом деле помнить нужно очень мало, так как с решением задач эти формулы сами запомнятся. Конечно, кто-то много решать поленится, но ему тогда эта техника, а значит, и сами формулы, нужны и не будут.

А раз формулы не понадобятся, то не нужно их и запоминать. Нужно просто понимать идею, что тригонометрические функции - это функции, при помощи которых рассчитываются, например, мосты. Без их использования и расчёта не обходится практически ни один механизм.

1. Часто возникает вопрос, могут ли провода быть абсолютно параллельны земле. Ответ: нет, не могут, так как одна сила действует вниз, а другие параллельно - они никогда не уравновесятся (Рис. 21).

2. Лебедь, рак и щука тянут воз в одной плоскости. Лебедь летит в одну сторону, рак тянет в другую, а щука - в третью (Рис. 22). Их силы могут уравновешиваться. Посчитать это уравновешивание можно как раз с помощью тригонометрических функций.

3. Вантовый мост (Рис. 23). Тригонометрические функции помогают посчитать количество вантов, как они должны быть направлены и натянуты.

Рис. 23. Вантовый мост

Рис. 24. «Струнный мост»

Рис. 25. Большой Обуховский мост

Ссыл-ки на ма-те-ри-а-лы сайта InternetUrok

Математика 6 класс:

Геометрия 8 класс:

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.